В принципе - ничего страшного не произошло.
В середине корнеклубня георгин (этого сообщества больших и маленьких клубеньков) - еще сохранилась влага.
Ее оказалось достаточно, чтобы георгины проросли.
Абсолютного периода покоя, у георгин - практически не бывает.
Он наступает - при значительной потере влаги.
Очень желательно, чтобы влагу - георгины теряли медленно, постепенно, и - не слишком много.
Если пересохнут - будут хуже прорастать, могут загнивать...
Вы ведь пишете, что георгины, на Вашем балконе, к весне - сильно подсыхают.
Значит, хранить их не деленными, с остатками земли - даже лучше.
Пусть стоят, главное - чтобы вентиляция хорошей была.
В смысле - в целлофан или коробки их плотно не закрывайте.
Ведь влаги георгинам - пока хватает, и доступ воздуха, при этом - просто необходим.
Желательно клубни георгин осмотреть, проверить - есть ли подгнившие.
Иногда старые клубеньки - загнивают, влаги выделяется много, что стимулирует прорастание побегов.
Удалив гниющие части - можно оставить георгины в покое, пусть хранятся, постепенно подсыхая.
Ростки, если они зеленые и сильно не вытягиваются - пока можно не обламывать.
Обломка ростков георгин - важно лишь при хранении клубней в полной темноте, когда ростки - вырастают тонкими, длинными, белыми.
Такие изнеженные ростки, при дальнейшем подсыхании клубней - начинают массово отмирать, что провоцирует загнивание георгин.
Для черенкования георгин, сейчас - пора не лучшая, света - явно будет не хватать...
Когда клубни постепенно подсохнут, влаги - станет значительно меньше, рост побегов - прекратится.
Дальше. как я понял - георгины у Вас пересыхают, снижается их прорастание.
Чтобы сорта не потерять - обрежьте в этот период несколько клубеньков, с каждого сорта ( но не сейчас, пусть подсохнут сильнее).
Каждый обрезанный клубенек - убираете в небольшой пакетик, с крошечными дырками.
Пакетики удобнее использовать - на защелках (грипперы), каждый стоит подписать.
Основной, материнский корнеклубень, при его значительном подсыхании - можно поставить в большой пакет "майку", где и хранить, не завязывая, до посадки или деления.